Una Vida Examinada

¿Qué pasa cuando un razonamiento abstracto se vuelve un circuito físico? En el siglo XIX, George Boole reformuló la lógica clásica como un álgebra: las proposiciones se convierten en variables que toman valores cero y uno, las conectivas en operaciones susceptibles de cálculo. La lógica clásica adoptó otro nombre en el mundo de la ingeniería: álgebra de Boole.

Claude Shannon, en su tesis maestra de 1937, mostró que esa álgebra podía implementarse físicamente con relés eléctricos. De ahí derivan las compuertas lógicas que constituyen toda computadora: NOT invierte la señal, AND exige que dos entradas sean verdaderas, OR basta con una, NAND combina conjunción y negación. Sobre estas piezas elementales se construye toda la arquitectura digital, desde el procesador hasta los relojes inteligentes que llevamos en la muñeca.

Las leyes que permiten simplificar funciones proposicionales son las mismas que la escolástica medieval analizaba para argumentos: identidad, conmutatividad, asociatividad, distributividad. Las leyes de De Morgan ¬(A ∧ B) ↔ (¬A ∨ ¬B) son hoy una herramienta cotidiana en el diseño de circuitos digitales. Una conclusión incómoda y luminosa: cada vez que una puerta automática se abre, está ejecutando un silogismo. La lógica formal dejó de ser un ejercicio académico hace casi un siglo.

¿Hay una sola lógica o muchas? La pregunta, en apariencia escolar, divide el panorama contemporáneo. Stewart Shapiro distingue cinco componentes en cualquier sistema lógico: un lenguaje formal, una asignación de significado, una sintaxis que dice qué se sigue de qué, una semántica que dice cuándo algo es verdadero, y la unión de ambas en una lógica completa.

Dentro de la familia clásica, dos lógicas conviven. La lógica de las proposiciones, o cálculo proposicional, es de orden cero: trata sus variables como bloques indivisibles y solo se interesa por sus valores de verdad. La lógica de los términos, o lógica cuantificacional, añade los cuantificadores universal y existencial, y por tanto permite hablar de propiedades que valen para todos los elementos de una colección, o al menos para uno. Esta extensión, formalizada por Frege a finales del XIX, recupera buena parte de la lógica aristotélica pero la sobrepasa: admite conjuntos vacíos, mientras que Aristóteles exigía un ejemplar.

Fuera de la familia clásica florecen alternativas. La lógica informal estudia los argumentos en sus contextos reales. La lógica paraconsistente, de Graham Priest, niega que de una contradicción se siga cualquier cosa. La lógica intuicionista, de Brouwer y Heyting, rechaza el tercero excluido. Cada divergencia revela una apuesta filosófica distinta sobre qué significa razonar correctamente.

¿Es lo mismo deducir y evaluar? El cálculo proposicional clásico responde que sí, y esa equivalencia es uno de sus resultados más profundos. Para toda deducción válida en sintaxis hay una tautología en semántica, y viceversa: lo que se prueba por reglas de inferencia es lo mismo que se prueba por tablas de verdad. Esta correspondencia, sistematizada por Gödel en su teorema de completud, da al sistema una elegancia inusual.

De ahí brota una larga lista de reglas que la tradición ha decantado. El modus ponens autoriza pasar de A → B y A a B. El modus tollens niega el antecedente cuando el consecuente es falso. El silogismo hipotético encadena condicionales. Las leyes de De Morgan permiten intercambiar conjunciones y disyunciones negándolas. Cada una de estas reglas tiene su tabla de verdad correspondiente, y cada equivalencia se prueba dos veces: por deducción y por semántica.

Dos rasgos llamativos. El principio de explosión sostiene que de una contradicción se sigue cualquier cosa, una virtud para el rigor clásico pero una pesadilla práctica que motivó las lógicas paraconsistentes de Newton da Costa y Graham Priest. Y el método de árboles semánticos, formulado por Beth, ofrece una tercera vía de demostración, finita y mecánica, que en muchos casos resuelve más rápido que las otras dos. Razonar con rigor es, a fin de cuentas, saber qué herramienta usar.